已知二次函数范例，已知二次函数

已知二次函数范例篇1

　　另一个，对于学生的能力提高的一个重要方面，就是从章节知识的某个侧面进行展开专题的认知复习，从一个或者两个知识点出发，把握其作用。如我们在学习完二次函数的图象与性质后，进行了复习，在从整体上复习后，把本单元知识分成几个专题。

　　专题一：二次函数的图象性质基本训练

　　专题二：与二次函数相关的代数式符号训练

　　专题三：二次函数的对称性训练

　　专题四：二次函数的增减性训练

　　专题五：二次函数与不等式方程的训练

　　专题六：二次函数与一次函数的图象组合训练

　　专题七：求二次函数解析式训练

　　专题八：二次函数的几何变换训练

　　通过以上这些专题训练，使学生对基础知识形成更加透彻的认知，同时对于知识的应用有了一个新的提高，达到了把握问题、形成解题思维的目的。下面以专题四作为依托来说明课时设计。

　　一、关于二次函数增减性训练

　　这部分是对知识点的回顾。

　　二、知识点应用

　　1.比较函数值的大小

　　（1）点在对称轴同侧的函数值的比较

　　2.求函数的最值

　　（1）自变量取值为全体实数情况下求最值

　　例3.已知二次函数y=-x2-4x+5，存在最___________值，（填“最大”或“最小”），是_______，此时x的取值为________。

　　（2）给定自变量取值范围情况下求最值

　　①顶点在取值范围内

　　例4.已知二次函数y=-x2-4x+5，其中-4≤x

　　②顶点不在取值范围内

　　例5.已知二次函数y=-x2-4x+5，其中-4≤x

　　例6.已知二次函数y=-x2-4x+5，其中-4≤x

　　这部分是针对于知识点在问题中的应用进行分类，目的是从不同的角度不同的问题来认识知识点的作用。

　　三、知识点的练习

　　1.设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）

　　A。y1>y2>y3 B。y1>y3>y2

　　C。y3>y2>y1 D。y3

　　3.已知抛物线y=ax2+bx+c（a

　　A。y1>y2 B。y1=y2

　　C。y1

　　4.y=x2+（1-a）x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x=1时取得最大值，则实数a的取值范围是

　　（ ）

　　A。a=5 B。a≥5

　　C。a=3 D。a≥3

　　5.已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x-1）2+1的图象上，若x1>x2>1，则y y2（填“>”、“

　　6.已知二次函数y=ax2+bx+c中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数的图象上，当0

　　A。y1≥y2 B。y1>y2

　　7.某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成。若设花园的宽为x（m），花园的面积为y（m2）。y与x之间的函数关系式为y=-20x2+40x，自变量x的取值范围是12.5≤x

　　8.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化。S与x之间的函数关系式为S=-x2+30x，自变量x的取值范围是0

　　这部分是针以于本专题进行巩固与强化训练。

已知二次函数范例篇2

　　关键词：对称轴；区间；最值

　　一、要点分析

　　求二次函数在闭区间上最值问题，核心是函数的对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况。

　　自变量离对称轴的距离越远对应的函数值越大，自变量离对称轴的距离越近对应的函数值就越小。

　　二、归类分析

　　已知二次函数和定义域区间，求其最值时，要分类讨论。对称轴与定义域区间的相对位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。

　　1.定轴定区间

　　二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”，也称为定轴定区间。

　　例 函数y=x2+6x+3在区间[-4，1]上的最大值是_________，最小值是_______。

　　解：函数y=x2+6x+3=（x+3）2-6是定义在区间[-4，1]上的二次函数，其对称轴方程是x=-3，顶点坐标为（-3，-6），且其图象开口向上，显然其顶点横坐标在[-4，1]上。

　　2.定轴动区间

　　二次函数是确定的，即对称轴是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定轴动区间上的最值”。

　　例 已知函数f（x）=（x-2）2+2定义在区间[m，m+2]上，求f（x）的最大值。

　　解：由已知可求对称轴为x=2，区间[m，m+2]的中点为m+1

　　当m+1>2，即m>1时，f（x）max=f（m+2）=m2+2，

　　当m+1

　　3.动轴定区间

　　二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是动轴定区间上的最值。

　　例 已知x2≤4，求函数f（x）=x2+2ax+3的最值。

　　解：由已知得-2≤x≤2，于是函数f（x）是定义在区间[-2，2]上的二次函数，将f（x）配方得：f（x）=（x+a）2+3-a2，区间[-2，2]的中点为0.

　　二次函数f（x）的对称轴方程是x=-a顶点坐标为（-a，3-a2），图象开口向上

　　（1）求最大值

　　①当-a>0时，f（x）max=f（-2）=7-4a；

　　②当-a≤0，即a≥0时，f（x）max=f（2）=7+4a。

　　f（x）max=7-4a，（a>0）7+4a，（a≤0）

　　（2）求最小值

　　①当-a2时，f（x）在[-2，2]上是增函数，f（x）min=f（-2）=7-4a；

　　②当-a>2，即a

　　③当-2≤a≤2，即-2≤a≤2时，f（x）min=f（-a）=

　　-a2+3

　　f（x）=7+4a，（a2）

　　4.动轴动区间

　　二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”，动轴动区间上的最值。

已知二次函数范例篇3

　　关键词：二次函数；图像性质；根的求解

　　在高中数学二次函数的学习部分，函数的图像是我们重点学习掌握的部分，它的特征和性质在帮助我们后续很多题目的分析解决有很大的帮助。可以说，关于二次函数的图像性质和函数根的求解有很大的关联，在学习的时候应该要把两者结合起来学习。

　　一、二次函数图像性质及其应用

　　（一）二次函数的图像性质

　　1.二次函数有三种表达式：

　　（二）二次函数图像性质的应用

　　二次函数的图像有很多好的性质，可以帮助我们方便快速的解决很多二次函数中的问题，比如根的求解问题，单调区间的问题，求最值的问题等。

　　1.利用二次函数求解y=ax^2+bx+c（a不等于0）大于0，小于0或者等于0时的x的取值范围。我们知道，在二次函数图像上，有关键的三个点，顶点（-b/2a，（4ac-b^2）/4a ）以及函数和x轴的两个交点。利用求根公式或者因式分解法可以求出两个交点x1、x2，通过观察二次函数的图像我们可以得出：当a>0时，在（-∞，x1）和（x2，+∞）上，函数值大于0，在x1、x2两个点上，函数值等于0，在（x1，x2）上，函数值小于0；当a

　　（x1，x2）上，函数值大于0.

　　2.二次函数的图像是一个对称图形，我们可以利用它的对称性和凸性求解最值的问题。为了更好地解释求解过程，这里我举一个比较简单的例子说明问题。已知函数y=x2+2x+2，求函数在（-3，-2）上的最值。由函数的性质可以得出，该函数的开口方向向上，对称轴是x=-1，因此可知，在区间（-3，-2）上函数是单调递减的，并且在x=-3时函数有最大值，在x=-2时函数有最小值。

　　3.二次函数的图像和性质可以用来证明不等式。例如：已知a>0，2b>a+c，求证b-0，所以有A、B，且A

　　设f（x）=ax2-2bx+c（a>0），因为a>0，2b>a+c，所以有f（1）=a-2b+c

　　二、二次函数的求根方法和技巧

　　（一）顶点式求解二次函数

　　在题目中已经告诉二次函数经过的顶点的坐标时，可以考虑用顶点式解答。该题型往往比较简单，直接设函数的表达式是y=a（x-h）2+k进行求解即可。

　　（二）三点式求解二次函数

　　三点式也是在函数求解方法中常用的一种，原理也相对简单。如果题目中告知函数经过确定的三个点，则可以用该方法求解。此时，只需要将函数设成一般式即y=ax^2+bx+c，然后分别将三个点的坐标带入函数式中求出a、b、c即可。

　　另外，交点式、平移式等也是在二次函数求解中经常会使用到的方法，我们可以发现，每种方法都有各自适合的题型特点，具体方法的应用我们要根据不同的题目特点和要求进行选择。

　　三、结语

　　综上所述，二次函数的学习由于涉及到的知识点繁多，题型变化又复杂多变，对于这部分我们在学习过程中一定要熟知它的图像性质及应用，注意不同性质间的联系，并对不同题型的解题方法多加总结才能更好地掌握这部分的知识点。

　　参考文献：

　　[1]文桂生。论二次函数在高中数学中的求解[J]。数理化解题研究，2016（25）。

已知二次函数范例篇4

　　【关键词】二次函数；三次函数；导数

　　导数被引入新教材后，使得对三次函数的性质及图像的研究成为可能。三次函数的导函数是二次函数，“三个二次”即“二次方程、二次函数、二次不等式”又是高中教材中的重点考察内容。于是，用“二次”研究“三次”的问题，能使学生理解他们之间的内在联系，并在此基础上解决新问题，做到融会贯通。下面就二者的联系谈谈笔者个人的浅见。为方便起见，以下设三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），导函数是二次函数f′（x）=3ax2+2bx+c，二次方程3ax2+2bx+c=0的判别式为Δ，两个根为 x1，x2.

　　一、 二次函数f′（x）的函数值与三次函数f（x）的切线斜率

　　由导数的几何意义知道，函数f（x）在x=x0处的切线斜率就是导函数f′（x）在x=x0处的函数值。

　　例1 设点P是曲线f（x）=x3-3x+23上的任意一点，P点处切线的倾斜角为α，求角α的取值范围。

　　解 f′（x）=3x2-3，x∈R，f′（x）≥-3.

　　即P点处的切线斜率k≥-3，

　　又由k=tan（α）知，α∈0，π2∪2π3，π。

　　评注 斜率的范围就是导函数的值域。

　　学生已有的知识经验在知识的迁移过程中作为基础和背景起着不可估量的作用，中外许多著名教育家都很重视学生已有知识经验的这种作用。例如，赫尔巴特学派明确的把“作用”即“过去经验中有联系的观念在意识中复活，它将唤起对新材料，新知识的兴趣，并为学生迅速理解和学习新知识做好准备”。学生已有的知识经验越精确、熟练，就越利于知识的迁移。

　　二、 二次方程的判别式与三次函数的单调区间、极值

　　由单调区间和极值的定义有如下结论 ：

　　二次方程判别式 单调区间的个数 极值点的个数

　　例2 设函数f（x）=x3+mx2+x+1在R上没有极值点，求m的取值范围。

　　解 f′（x）=3x2+2mx+1.

　　由已知方程3x2+2mx+1=0的判别式Δ≤0，

　　即4m2-12≤0，-3≤m≤3.

　　例3 设函数f（x）=ax3+x恰有三个单调区间，求a的取值范围。

　　解 f′（x）=3ax2+1，则方程3ax2+1=0有两个不相等的实数根，Δ>0，即a<0.

　　

三、 二次函数的符号与三次函数的增减性

　　

当二次函数f′（x）在区间I上为正时，三次函数f（x）在区间I上为增函数；当二次函数f′（x）在区间I上为负时，三次函数f（x）在区间I上为减函数。

　　

例4 设f（x）=ax3-x2+x+5在（-∞，+∞）单调增求a的取值范围。

　　

解 f′（x）=3ax2-2x+1.

　　

由已知，f′（x）≥0在R上恒成立。

　　

a>0

　　Δ≤0，即a>0，

　　4-12a≤0.a≥13.

　　四、 二次方程的根与三次函数的极值

　　由结论知，当Δ>0时，三次函数f（x）才有极值，设二次方程的根为x1，x2（x1≠x2），则点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））就是三次函数的两个极值点。

　　例5 已知曲线S：f（x）=x3+px2+qx的图像与x轴相切于不同于原点的一点，又函数有极小值-4，求p，q的值。

　　解 f′（x）=3x2+2px+q，

　　设方程3x2+2px+q=0有两个根x1，x2且x1

　　y 极大值 极小值

　　由表及题设知，曲线与x轴切于点（x1，0）且过点（x2，-4）。

　　评注：通过分析知道（x1，0），（x2，-4）是曲线的极值点，可以代入其方程，而且x1，x2又是方程f′（x）=0的根，正是x1，x2的双重身份，使“二次”与“三次”有机结合起来。

　　教师在教学中要突出知识的系统性，培养学生的统摄思维能力，引导学生把新的知识纳入、同化到旧的知识中去。抓住事物的本质属性与内在联系，对繁衍的知识进行有层次的概括，是知识间相互联系的逻辑结构，能综观全局，有序地储存信息。从而为迁移的发生提供前提在实际的应用中，学生才能有目的、有条理的根据知识的线索，迅速恰当的选择相关知识解决新问题。

　　例6 已知f（x）=x3+ax2+bx+c有极大值f（α）和极小值f（β），求f（α）+f（β）关于a，b，c的表达式。

　　解 f′（x）=3x2+2ax+b。

　　f（x）有极大值f（α）和极小值f（β），

　　α，β是方程3x2+2ax+b=0的两个根。

　　α+β=-23a，αβ=b3.

　　α2+β2=4a29-2b3，α3+β3=-8a327+2ab3.

　　f（α）+f（β）=4a327-2ab3+2c。

　　评注 由f（α），f（β）是极值得，α，β是方程f′（x）=0 的根，所以可利用根与系数的关系进行求解。

　　五、二次函数的图像与三次函数的图像

　　例7 设f（x）=x3+bx2+cx+d在（-∞，0）是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f（x）=0有三个根，分别是α，2，β，（1）求c的值。（2）求证：f（1）≥2.

　　解 （1）f′（x）=3x2+2bx+c

　　由已知，f（0）是f（x）的极大值。

　　f′（0）=0，即c=0.

　　（2）由已知f（x），f′（x）的大致图像如下：

　　设f（x）在x0处取得极小值，

　　由f（x）在（-∞，0）是增函数，在[0，2]上是减函数知x0≥2，

　　再由f′（x）的图像知f′（2）≤0，即12+4b≤0，

已知二次函数范例篇5

　　关键词：初中数学；二次函数；教学方法

　　新课改后要求二次函数教学不仅要使学生掌握二次函数定义、简单变量之间的二次函数关系，而且要灵活应用二次函数解决生活中的最值问题，使二次函数的教学难度加大，所以优化二次函数教学方法已经成为二次函数教学目标实现的必然选择。

　　一、深入相关概念引导教学，全面学生对二次函数的认知

　　抽象的知识容易使初中生在学习的过程中丧失方向，所以教师应利用概念强化学生对二次函数的认识，使其在学习中能够不脱离概念，逐渐深化吸收。二次函数即一个多项式中只存在一个未知自变量且其最高次幂为2，表示为y=ax2+bx+c（a≠0），通过概念学生可对表达式是否是二次函数进行初步判断，教师在教学的过程中，可有意识地引导学生对概念进行深化，例如为什么要强调a≠0，学生在讨论的过程中会发现a=0的情况下，表达式变为y=bx+c，与概念中自变量的最高次幂为2相违背，而b=0或c=0仍能满足概念要求，进而学生会发现二次函数与二元一次方程的区别。教师在学生对概念有所理解的基础上，可以引导学生对学习过的知识中存在的二次函数进行归纳，学生会发现，圆的面积公式等同样属于二次函数，学生的探究过程实质上是学生区别二次函数与其他表达式的实践过程。

　　二、数形结合方法，辅助学生理解

　　数形结合可以将抽象复杂的数量关系用直观的几何图形表达出来，不仅可以降低学生理解的难度，而且学生的注意力更容易集中，所以二次函数教学中应用图形结合方法也至关重要，因此引导学生通过图形观察，掌握二次函数的基本性质、特征等，可以使其对二次函数的数量关系、抽象知识等产生更全面的了解。例如，某二次函数的对称轴为x=2，而抛物线上A、B两点的连线与对称轴平行，已知A点坐标为（0，5），求B点坐标。学生在刚接触问题时通常摸不着头脑，但通过画图可以发现A、B两点连线与对称轴平行，这两点的纵坐标将相同，所以B点的纵坐标为5，而A在抛物线上，可以计算获得c和b的数值，进而对x的值进行计算判定，获取B点坐标，此方法使抽象的问题直接具体化，学生可以结合图形逐步探索，符合初中生的思维方式，教学效果更理想。

　　三、有效提问，逐步探索中提升学生学习兴趣

　　学生用理论指导实践的能力与其探究意识具有直接关系，所以在教学的过程中教师应有意识地设置与生活相关的二次函数问题，并引导学生探究，这不仅有利于学生对知识点的理解、掌握，而且学习兴趣也更容易调动。例如，教师在引进二次函数例题前，可以有目的地问学生是否见过拱桥，然后让学生描述拱桥的形状。在学生的参与积极性被调动起来的情况下，提问如果这个拱桥需要横跨宽度为14米的河流，其正中央的桥墩已经设定为7米，那么在离河流两侧4米处的桥墩要多高呢，学生在教师提问的过程中会结合生活中拱桥的形状，在脑海中形成相关的画面，当教师将问题向二次函数知识引导的过程中，学生会对抽象的二次函数知识产生具体的认知，提升二次函数教学与生活实践之间的联系。

　　四、创造某种情境，使学生对二次函数的理解自然强化

　　在学次函数时，教师可以利用现代化教学手段，引导学生对学过的知识进行逐步回忆，例如函数的定义、自变量的定义、一次函数与反比例函数的表达式等，学生在回忆的过程中，会燃起对二次函数进行探知的兴趣，教师在此过程中逐渐引进二次函数的相关知识，学生更容易接受和理解，而且这种方式有利于学生在学习的过程中自主地对不同函数进行区分，使二次函数的理解难度在不自觉中降低，为后期的深入学习奠定基础。由此可见，教师在进行二次函数教学的过程中，通过有意识地创造某种学习情境，可以使学生的思路更加集中、清晰，除这种将学过的函数知识进行汇总的教学情境外，教师还可以为学生打造小组自主探究、讨论论证知识点等情境，其主要目的都是吸引学生注意力，使学生产生自主探究的兴趣和信心，进而在掌握基本知识的基础上，能够灵活地应用。大量实践证明，情境创设教学法应用到二次函数教学中效果较理想，但其对教师课堂把握能力和组织能力等具有较高的要求。

　　通过上述分析可以发现，二次函数教学目标强调理论与实际相结合，用二次函数的理论知识解决生活中的相关问题，而初中生对抽象知识与实际问题之间的转化能力并不突出，所以初中二次函数教学应有意识地对其教学方法进行优化，并在实际教学中不断完善。