最新勾股定理的证明方法，勾股定理的证明方法

最新勾股定理的证明方法篇1

　　勾股定理证明方法

　　勾股定理是初等几何中的一个基本定理。所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。

　　中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？” 商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩得到的一条直角边‘勾等于3，另一条直角边’股等于4的时候，那么它的斜边弦就必定是5.这个原理是大禹在治水的时候就

　　总结出来的呵。” 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为勾股定理是非常恰当的。

　　在《九章算术》一书中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。

　　中国古代的数学家们最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。

　　上中间的那个小正方形组成的。

　　每个直角三角形的面积为ab/2；

　　中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2.

　　于是便可得如下的式子：

　　4×（ab/2）+（b-a）2=c

　　2化简后便可得： a2+b2=c2

　　在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形abde是由4个相等的直角三角形再加

　　刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的空白区域内(入)，结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。

　　1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法

　　古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。

最新勾股定理的证明方法篇2

　　数学证明题证明方法（转）

　　2011-04-22 21：36：39|分类：|标签： |字号大中小 订阅

　　2011/04/2

　　2从命题的题设出发，经过逐步推理，来判断命题的结论是否正确的过程，叫做证明。

　　要证明一个命题是真命题，就是证明凡符合题设的所有情况，都能得出结论。要证明一个命题是假命题，只需举出一个反例说明命题不能成立。证明一个命题，一般步骤如下：

　　（1）按照题意画出图形；

　　（2）分清命题的条件的结论，结合徒刑，在“已知”一项中写出题设，在“求证”一项中写出结论；

　　（3）在“证明”一项中，写出全部推理过程。

　　一、直接证明

　　1、综合法

　　（1）定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。（2）综合法的特点：综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”。它是从已知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发，通过推导得出结论。2、分析法

　　（1）定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法。（2）分析法的特点：分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”。它是要证明结论成立，逐步寻求推证过程中，使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。二、间接证明

　　反证法

　　1、定义：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。2、反证法的特点：

　　反证法是间接证明的一种基本方法。它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的。３、反证法的优点：

　　对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件。４反证法主要适用于以下两种情形：

　　（1）要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；

　　（2）如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形

最新勾股定理的证明方法篇3

　　【证法1】(梅文鼎证明)

　　做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c。把它们拼成如图那样的一个多边形，使d、e、f在一条直线上。过c作ac的延长线交df于点p。∵d、e、f在一条直线上，且rtδgef≌rtδebd，∴∠egf=∠bed，∵∠egf+∠gef=90°，∴∠bed+∠gef=90°，∴∠beg=180º―90º=90º。又∵ab=be=eg=ga=c，∴abeg是一个边长为c的正方形。∴∠abc+∠cbe=90º。∵rtδabc≌rtδebd，∴∠abc=∠ebd。∴∠ebd+∠cbe=90º。即∠cbd=90º。又∵∠bde=90º，∠bcp=90º，bc=bd=a。∴bdpc是一个边长为a的正方形。同理，hpfg是一个边长为b的正方形。设多边形ghcbe的面积为s，则，∴。【证法2】(项明达证明)

　　做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c。再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使e、a、c三点在一条直线上。过点q作qp‖bc，交ac于点p。过点b作bm⊥pq，垂足为m；再过点

　　f作fn⊥pq，垂足为n。∵∠bca=90º，qp‖bc，∴∠mpc=90º，∵bm⊥pq，∴∠bmp=90º，∴bcpm是一个矩形，即∠mbc=90º。∵∠qbm+∠mba=∠qba=90º，∠abc+∠mba=∠mbc=90º，∴∠qbm=∠abc，又∵∠bmp=90º，∠bca=90º，bq=ba=c，∴rtδbmq≌rtδbca。同理可证rtδqnf≌rtδaef。【证法3】(赵浩杰证明)

　　做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c。再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形。分别以cf，ae为边长做正方形fcji和aeig，∵ef=df-de=b-a，ei=b，∴fi=a，∴g，i，j在同一直线上，∵cj=cf=a，cb=cd=c，∠cjb=∠cfd=90º，∴rtδcjb≌rtδcfd，同理，rtδabg≌rtδade，∴rtδcjb≌rtδcfd≌rtδabg≌rtδade

　　∴∠abg=∠bcj，∵∠bcj+∠cbj=90º，∴∠abg+∠cbj=90º，∵∠abc=90º，∴g，b，i，j在同一直线上，【证法4】(欧几里得证明)

　　做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使h、c、b三点在一条直线上，连结

　　bf、cd。过c作cl⊥de，交ab于点m，交de于点

　　l。∵af=ac，ab=ad，∠fab=∠gad，∴δfab≌δgad，∵δfab的面积等于，δgad的面积等于矩形adlm的面积的一半，∴矩形adlm的面积=。同理可证，矩形mleb的面积=。∵正方形adeb的面积

　　=矩形adlm的面积+矩形mleb的面积

　　∴，即。勾股定理的别名

　　勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。

　　我国是发现和研究勾股定理最古老的国家。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高(约公元前1120年)答周公曰“勾广三，股修四，经隅五”，其意为，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”。因此，勾股定理在我国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。

　　在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。

　　在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”。前任美国第二十届总统加菲尔德证明了勾股定理(1876年4月1日)。

　　证明

　　这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(elishascottloomis)的pythagoreanproposition一书中总共提到367种证明方式。

　　有人会尝试以三角恒等式(例如：正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。